Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції
Зміст TOC \o 1-1 Вступ. GOTOBUTTON _Toc416793604  3
Формули прямокутників і трапеції. GOTOBUTTON _Toc416793605  4
Параболічне інтерполювання.  GOTOBUTTON _Toc416793606  6
Дроблення проміжку. GOTOBUTTON _Toc416793610  9
Залишковий член формули прямокутників. GOTOBUTTON _Toc416793621  11
Залишковий член формули трапеції. GOTOBUTTON _Toc416793624  13
Залишковий член формули Сімпсона.  GOTOBUTTON _Toc416793635  14
Додаток 1.  GOTOBUTTON _Toc416793639  17
Додаток 2.  GOTOBUTTON _Toc416793648  20
Висновки.  GOTOBUTTON _Toc416793649  22
Література. GOTOBUTTON _Toc416793650  23
Вступ.
Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі разглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій а також формула Сімпсона.
Формули прямокутників і трапеції.
Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу  є деяка заданая на  проміжку  неперервна  функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, або за допомогою первістної, якщо вона виражається в скінченному вигляді, або ж – минуя первістну – за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим вичерпується вузький клас интегралів; за його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення.
В даній роботі можно ознайомитися з основними із цих методів, в яких наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених) значень незалежної змінної.
Перші формули, які сюди відносяться, простіші всього отримуються із геометричних міркувань. Витлумачуючи визначений інтеграл
Перш за все, вдруге використовуючі ту думку, яка привела нас до самого поняття о визначеном інтегралі, можно розбити усю фігуру  (мал. 1) на смуги, скажемо однієї і той же ширини

де  
Мал. 1
На практиці зазвичай беруть  якщо відповідну середню ординату  позначити через  
(1)
Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз цю формулу.
Геометричні міркування природньо приводять і до другої, часто використовуваємій наближеній формулі. Замінивши дану криву вписаною в неї ламаною, з вершинами у точках  
проміжок  разбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть


Мал. 2Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули 
(2)
Це так звана формула трапецій.
Можно показати, що при зростанні  до нескінченності похибка формули прямокутників і формули трапецій нескінченно зменьшується. Таким чином, при достатньо великому  обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем точності. Параболічне інтерполювання.
Для наближеного обчислення інтеграла  можно спробувати замінити функцію   «близьким» до неї многочленом
(3)
і покласти

Можно сказати, що тут – при обрахуванні площі – дана «крива»   замінюється на «параболу  - го порядку» (3), в зв'язку з чим цем процес отримав назву параболічного интерполювання.
Сам вибір інтерполюючуго многочлена  частіше всього виконують наступним чином. У проміжку   беруть   значень незалежної змінної  і підбирають многочлен  так, щоб при усіх взятих значеннях  його значення співпадало зі значенням функції  визначається однозначно, і його вираз даеться інтерполяціонною формулою Лагранжа:

При інтерполюванні виходить лінійний, відносно значень  вираз, коефіцієнти якого вже не залежать від цих значень. Вирахувавши коефіціенти раз і назавжди, можно  їх  використовувати для будь-якої функції  в даному проміжку
В найпростішому випадку, при  просто замінюється сталою  – будь-яка точка у проміжку
  (4)
Геометрично – площа криволінійної фігури замінюється тут площадью прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті.
При  функція  замінюється лінійною функцією  и
(5)
і, як легко обчислити,

Таким чином, тут ми наближено вважаємо

На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, яка зполучає її кінці.
Менш тривіальний результат отримаємо взявши  буде мати вигляд
(7)
За допомогою легкого обчислення вираховуємо

і, аналогічно


Таким чином, приходимо до наближеної формули

Тут площа фігури під даною кривою замінюється площею фігури, яка обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через крайні і середню точки кривої.
Збільшуя степінь  інтерполяційного многочлена, тобто проводя параболу (3) через все більше число даної кривої, можно розраховувати отримати більшу точність. Но більш практичним виявляється інший шлях, якій грунтується на поєднанні ідеї параболічного інтерполювання із ідеєю дроблення.
Дроблення проміжку.
При обчисленні інтегралу  можно зроботи так. Розіб'ємо спочатку проміжок  на деяке число,
 
в зв'язку з чим, шуканий інтеграл постане у вигляді суми
  (9)
Тепер же до кожного із цих проміжків застосуємо параболічне інтерполювання, тобто станемо обчислювати інтеграли (9) по одній із наближених формул – (4), (6), (8).
Легко збагнути, що виходячи із формул (4) або (6), ми таким шляхом знов отримаємо вже відомі нам формули прямокутників і трапецій, (1) и (2).
Застосуємо тепер до інтегралів (9) формулу (8), при цьому для стислості положимо, як і вище,

Ми отримаємо


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Зрештою, додаючи почленно ці равенства, прийдемо до формули
  (10)
Вона носит назву формули Сімпсона (Th. Simpson); цією формулою користуються для наближенного обчислення інтегралів частіші, аніж формулами прямокутников і трапецій, бо она – при тих же затратах – дає зазвичай більш точний результат.
Залишковий член формули прямокутників.Почнемо з формули (4). Припустимо, що у проміжку  функція  має неперервні похідні перших двох порядків. Тогді, розкладая  (по формулі Тейлора) за степенями двочлена  аж до його квадрату, будемо мати для всіх значень  в  

де міститься між   та  і залежить від
Якщо проінтегрувати цю рівність у проміжку від  до
  (11)
Таким чином, отримаємо
так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має вигляд

Позначив через  і  у проміжку  і коростуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу на змінює знака, за узагальненою теоремою про середне можемо написати
де  міститься між точками  и  така точка   і остаточно
(12)
Якщо зараз розділити проміжок  на  рівних частин, то для кожного часткового проміжку  будемо мати  точную формулу


Додавнши ці равенства (при
де вираз
і є залишковий член формули прямокутників (1). Так як вираз

також знаходиться між  і
Тому остаточно маємо
 (13).
При зростанні  цей додатковий член спадає приблизно як  [1]
Залишковий член формули трапеції.Займемось тепер формулою (6) при попередніх здогатках відносно функції
 
Інтегруя цю формули від  до

так що залишковий член формули (6) буде

Розмірковуючи, як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо

Нарешті, для випадку ділення проміжку на  рівних частин
 (14).
Таким є залишковий член формули трапецій (2). При зростанні  він також зменьшуеться приблизно як
Залишковий член формули Сімпсона.
Звернемося, нарешті до формули (8). Можно було б, аналогічно тому, як це було зроблено тількі що, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом і покласти
  (15).
Но ми стикаємося тут з таким станом речей, а саме, проінтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середне, бо вираз  в підінтегральній функції вже змінює знак на проміжку
Вираз

яким би не було число  приймає одні і тіж значення, що і функція  так, щоб і похідна цього виразу при  співпадала з похідною  ми маємо не що інше, як інтерполяційний многчлен Эрміта, який відповідаї простим вузлам  і двукратному вузлу  похідних до четвертого порядку включно – отримаємо:

Тепер проінтегрувавши цю равність від  до

так як

Якщо припустити похідну  неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8)

користуючись тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можно підставити в такому вигляді[2]:


Якщо проміжок  розділити на  рівних частин, то – для формули Сімпсона (10) – отримаємо залишковий член у вигляді
   (16).
При зростанні  цей вираз зменьшується приблизно як Додаток 1.
Текст программи для автоматичного обчислення інтегралів на мові програмування BASIC:
'Тут описуються сталі
e = 2.718281828459045#
pi = 3.141592653589793#'Тут задається від під інтегральної функції
DEF fny# (x#) = e^x# ^2DEF fncoef# (i#) = (i# MOD 2) * 2 + 2
DEF fnxi# (i#) = a# + i# * h#
DEF fnxis# (i#) = a# + i# * h# / 2
DEF fnxic# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2
DEF fnxir# (i#) = a# + i# * h# + h# / 2CLS
'Тут вводяться межі інтегрування та
'кількість проміжків
INPUT «Введіть нижню межу інтегрування » a#
INPUT «Введіть верхню межу інтегрування » b#
INPUT «Введіть кількість проміжків » n#'Тут обчислюється крок
h# = (b# - a#) / n# 'Тут обчислюється наближене значення
'інтеграла за методом Сімпсона
integ# = 0
FOR i# = 1 TO ((2 * n#) - 1)
integ# = integ# + fncoef#(i#) * fny#(fnxis#(i#))
NEXT
integ# = integ# + fny#(a#) + fny#(b#)
integ# = integ# * (h# / 6)
PRINT Simpson = ; integ#'Тут обчислюється наближене значення
'інтеграла за методом трапецій
integ# = 0
FOR i# = 1 TO (n# - 1)
integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#))
NEXT
integ# = integ# + (fny#(a#) + fny#(b#)) / 2
integ# = integ# * h#
PRINT Trapeze =  ; integ#'Тут обчислюється наближене значення
'інтеграла за методом лівих прямокутників
integ# = 0
FOR i# = 0 TO (n# - 1)
integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#))
NEXT
integ# = integ# * h#
PRINT L Rectangle = ; integ#
'Тут обчислюється наближене значення
'інтеграла за методом центральних прямокутників
integ# = 0
FOR i# = 0 TO n#
integ# = integ# + fny#(fnxic#(i#))
NEXT
integ# = integ# * h#
PRINT C Rectangle = ; integ#'Тут обчислюється наближене значення
'інтеграла за методом правих прямокутників
integ# = 0
FOR i# = 1 TO n#
integ# = integ# + fny#(fnxir#(i#))
NEXT
integ# = integ# * h#
PRINT R Rectangle = ; integ#
Додаток 2.
Далі подані результати роботи програми, яка викладена в додатку 1.

1)
n=1000
Метод Сімпсона   -8.742278155181581D-08
Метод трапецій   -8.742270585611512D-08
Метод лівих прямокутників   3.141505318306509D-03
Метод центральних прямокутників  -3.14167628761223D-03
Метод правих прямокутників -6.283265152840917D-03

2)
n=1000
Метод Сімпсона 2.000000000000067
Метод трапецій 1.999998355065565
Метод лівих прямокутників   1.999998355202888
Метод центральних прямокутників 1.999995887392223
Метод правих прямокутників  1.999990952591778
3)  в межах від 0 до 1

	n=1	n=10	n=100	n=1000	n=10000
М-д Сімпсона	,33333333333	,3333333333333	,3333333333333	,3333333333	,3333333333333
М-д трапецій	,5	,335	,33335	,3333334999999	,3333333349999
М-д лів. прямокутників	0	,2850000000000001	,32835	,3328334999999	,3332833349999
М-д центр. прямокутників	2,5	,44275	,34342525	,33433425025	,3334333425002
М-д правих прсмокутників	2,25	,4425000000000001	,3434249999999	,33433425	,3334333424999

4)  в межах від 0 до 1
n=1000
Метод Сімпсона   .7468241385662959
Метод трапецій .7468240772530558
Метод лівих прямокутників .7471401375268841
Метод центральних прямокутників .7471916808878213
Метод правих прямокутників  .7461916811378212
5)  в межах від 0 до
n=1000
Метод Сімпсона   .8323745796964475
Метод трапецій .8323723082182791
Метод лівих прямокутників .8325874590746988
Метод центральних прямокутників .8319367429487694
Метод правих прямокутників  .8319318081462942
Висновки.
У данній роботі було розглянуто методи наближених обчислень визначених інтегралів, були виведині формули обчислень, формули додаткових членів. Результати, які наведені в додатку 2 наочно показують, що найбільш вигідним є використання формули Сімпсона.
Література.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968.
Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам.
М.: 1979.
Математический практикум. М.: 1960.

---