Исследования великих математиков. Основные
математические формулы
Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.
В III веке Архимед разработал систему обозначения чисел Наряду с натуральными числами применяли дроби. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что элементы чисел являются элементами всех вещей, весь мир в целом является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.
Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел, сделанное китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применял в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида
кубические и квадратные корни: 
Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (
нельзя решить алгебраически; нельзя выразить
его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести
алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в
степень, извлечение корня).
В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше четырех, нельзя решить алгебраически. Однако всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке, основываясь на разборе многочисленных частных случаев, но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.
Итальянский алгебраист Дж. Кардана в 1545 г предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений
(мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин “комплексные числа” также был
введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от лат. complexus) означает связь,
сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений, образующих единое целое.
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.
Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-х степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707):
Л. Эйлер вывел в1748 г. замечательную формулу:
В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.
Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, но еще не было строго логического обоснования теории этих чисел.
В конце XVIII – начале XIX вв. было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число
точкой 
можно задавать не только его координатами a и
b, но и длиной r, углом j, который он образует с положительным направлением оси
абсцисс. При этом 
и число z принимают вид 
Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного числа, расширило область их применения.
Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами
После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел — чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида
Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые. Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров — к проблемам квантовой теории поля.
Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.
В III веке Архимед разработал систему обозначения чисел Наряду с натуральными числами применяли дроби. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что элементы чисел являются элементами всех вещей, весь мир в целом является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.
Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел, сделанное китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применял в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида
кубические и квадратные корни: Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (
нельзя решить алгебраически; нельзя выразить
его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести
алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в
степень, извлечение корня).В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше четырех, нельзя решить алгебраически. Однако всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке, основываясь на разборе многочисленных частных случаев, но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.
Итальянский алгебраист Дж. Кардана в 1545 г предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений
(мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин “комплексные числа” также был
введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от лат. complexus) означает связь,
сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений, образующих единое целое. В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.
Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-х степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707):
Л. Эйлер вывел в1748 г. замечательную формулу:
В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.
Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, но еще не было строго логического обоснования теории этих чисел.
В конце XVIII – начале XIX вв. было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число
точкой можно задавать не только его координатами a и
b, но и длиной r, углом j, который он образует с положительным направлением оси
абсцисс. При этом и число z принимают вид Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного числа, расширило область их применения.
Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами
После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел — чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида
Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые. Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев — к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров — к проблемам квантовой теории поля.
